教学目标

知识与技能目标：学生能够理解并掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程，明确椭圆标准方程中a、b、c的含义与相互关系，能根据给定条件写出椭圆的标准方程。

过程与方法目标：通过引导学生观察、思考、讨论和动手推导，培养学生的逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力以及类比归纳能力。

情感态度与价值观目标：激发学生对数学的学习兴趣，感受数学的严谨性和科学性，体会数学与生活的紧密联系，提高学生的学习积极性和自信心。

教学重难点

教学重点：椭圆的定义、标准方程及推导。

教学难点：椭圆标准方程的推导过程，以及在不同情况下焦点位置的确定。

教学方法

讲授法、演示法、讨论法相结合。

教学过程

1、课程导入（5 分钟）：

- 利用多媒体展示生活中椭圆形状的物体，如鸡蛋、篮球场地的边界线、椭圆形的跑道等，提问学生这些形状的共同特点，引出椭圆的学习主题，激发学生的学习兴趣和好奇心。

- 简单介绍椭圆在数学领域的重要地位和应用，如天体运行轨道、建筑设计等，让学生感受到学习椭圆知识的实际意义。

2、椭圆的定义（8 分钟）：

- 回顾圆的定义，强调圆是到定点的距离等于定长的点的集合，为引出椭圆的定义做铺垫。

- 通过动画演示，展示一个动点到两个定点（焦点）的距离之和保持不变时动点的运动轨迹，形成椭圆，给出椭圆的定义：平面内与两个定点 F₁、F₂ 的距离之和等于常数（大于 |F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。

- 结合图形，详细讲解定义中的关键词，如“平面内”“距离之和”“常数”“大于焦距”等，并通过实例让学生判断给定条件下的点的轨迹是否为椭圆，加深对定义的理解。

3、椭圆标准方程的推导（15 分钟）：

- 以焦点在 x 轴上的椭圆为例，建立平面直角坐标系，设椭圆的两个焦点分别为 F₁(-c,0)、F₂(c,0)，椭圆上任意一点的坐标为 M(x,y)，根据椭圆的定义得出 |MF₁| + |MF₂| = 2a，2a 为常数且 a>0、c，c>0。

- 引导学生用坐标表示出 |MF₁| 和 |MF₂|，即 \(\sqrt{(x + c)² + y²}\) 和 \(\sqrt{(x - c)² + y²}\)，然后列出方程 \(\sqrt{(x + c)² + y²} + \sqrt{(x - c)² + y²} = 2a\)。

- 接下来进行方程的化简，首先移项 \(\sqrt{(x + c)² + y²} = 2a-\sqrt{(x - c)² + y²}\)，然后两边平方得到 \((x + c)² + y² = 4a² - 4a\(\sqrt{(x - c)² + y²}\)+\((x - c)² + y²\)，再移项、合并同类项、化简整理可得 \(ax + a² = a\(\sqrt{(x - c)² + y²}\)。

- 再次两边平方并整理得到 \(a²x² + 2a²cy + a²c² - a²x² = a²x² - 2a²cx + a²c²\)，继续化简最终得到 \((a² - c²)y² + 2a²cx - a²c² = 0\)，由于 \(a² - c² > 0\)，令其为 b²，则得到椭圆的标准方程 \(\frac{x²}{a²} + \frac{y²}{b²} = 1 (a > b > 0)\)。

- 同理，组织学生小组合作探究焦点在 y 轴上的椭圆标准方程的推导过程，然后请小组代表进行汇报和展示，教师进行总结和点评。

4、椭圆标准方程的特点及参数关系（7 分钟）：

- 引导学生观察椭圆标准方程 \(\frac{x²}{a²} + \frac{y²}{b²} = 1\) 和 \(\frac{y²}{a²} + \frac{x²}{b²} = 1\) 的形式特点，总结出：椭圆标准方程的形式左边是两个分式的平方和，右边是 1；并且明确 a²=b²+c²，a 表示半长轴，b 表示半短轴，c 表示半焦距。

- 通过具体的数值例子，让学生计算不同参数下的椭圆方程，加深对参数关系的理解，例如已知 a=5，c=3，求 b 的值并写出椭圆的标准方程。

5、例题讲解与练习巩固（15 分钟）：

- 例题讲解：选取一些具有代表性的典型例题，如已知椭圆的两个焦点坐标和经过的一个点坐标，求椭圆的标准方程；已知椭圆的标准方程，求焦点坐标、长轴长、短轴长等基本量；根据给定条件确定椭圆的标准方程并进行化简等。

- 在讲解过程中，注重引导学生分析题目条件，选择合适的方法和公式进行求解，同时规范解题步骤和书写格式，每讲解完一道例题，可适时提问学生，了解学生的掌握情况。

- 练习巩固：布置适量的练习题让学生独立完成，练习题的难度由易到难，逐步递进，涵盖不同类型的题目，如基础的概念辨析题、直接运用公式的计算题和综合应用题等，学生完成练习后，同桌之间先互相批改交流，然后教师选取部分学生的作业进行展示和点评，及时纠正学生的错误和不足之处。

6、课堂小结（5 分钟）：

- 引导学生回顾本节课所学内容，包括椭圆的定义、标准方程及其推导过程、方程的特点和参数关系等要点，让学生用自己的语言进行总结归纳。

- 强调本节课的重点和难点内容，以及学生在学习和练习过程中容易出现的问题和误区，提醒学生在今后的学习中加以注意。

- 鼓励学生分享在本节课学习中的收获和体会，增强学生的学习信心和成就感。

7、布置作业：布置适量的课后作业，如教材上相关的习题、配套练习册上的题目或教师自己编写的拓展性作业等，要求学生认真完成，通过作业进一步巩固所学知识，提高解题能力。

PPT课件

封面页：展示课题“椭圆的标准方程”，并配以简洁美观的背景图案，吸引学生的注意力。

生活实例页：呈现之前收集的各种椭圆形状的物体图片，让学生直观感受椭圆在生活中的广泛应用。

动画演示页：插入椭圆形成的动画视频片段，帮助学生更好地理解椭圆的定义和形成过程。

知识讲解页：分别制作关于椭圆定义、标准方程推导过程、方程特点及参数关系等内容的幻灯片，使用清晰的文字表述、适当的符号公式和图表进行展示，便于学生理解和掌握。

例题展示页：将例题完整地呈现在幻灯片上，并逐步展示解题过程和答案，突出解题的思路和方法。

练习题页：列举一些课堂练习题目，让学生可以在幻灯片上直接看到题目并进行思考解答

总结归纳页：总结本节课的重点知识和学习方法，以简洁明了的语言呈现给学生，帮助学生梳理所学内容。

通过以上教案的设计实施以及PPT辅助教学手段的应用，力求使学生全面深入地掌握椭圆的标准方程这一知识点。